Числа от 1 до 100 находятся в массиве, они хаотично перемешанные, но в нём не хватает одного числа из этой последовательности. Необходимо найти его

Дан массив чисел, заполненный числами от 1 до 100. В нём не хватает одного числа из этой последовательности (1, ...,100). Необходимо найти это число. Алгоритм не должен превышать O(n^2) сложности.

Примеры:

searchDeleteNumber([
  1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22,
  23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41,
  42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60,
  61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79,
  80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 99,
  100
]) === 98

searchDeleteNumber([
    10, 11, 12, 13, 14, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 15,
    16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 46, 47, 48, 49, 50,
    51, 52, 36, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 53, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 54,
    55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 92,
    93, 94, 95, 96, 79, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 97, 98,
    99, 100
]) === 37

searchDeleteNumber([
  1, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 10,
  11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 32, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55,
  56, 57, 58, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 59, 60,
  61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 69, 70, 71, 72, 73,
  74, 75, 76, 77, 78, 79, 86, 87, 88, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 89, 90,
  99, 100
]) === 8

searchDeleteNumber([
  16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,
  23, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33,
  34, 35, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 64, 65, 66, 67, 69, 70, 52, 53, 54,
  55, 56, 57, 58, 59, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 60, 61, 62, 63, 88, 89, 90, 91,
  92, 93, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80, 87, 94, 95, 99, 96, 97, 98,
  100
]) === 68

searchDeleteNumber([
  2, 3, 4, 17, 18, 19, 20, 21, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 22,
  23, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 24, 25,
  26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 54, 55, 68, 69, 70, 71, 72,
  73, 74, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 75, 76, 77, 78, 79,
  91, 92, 93, 94, 95, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 96, 97, 98,
  99, 100
]) === 1

Теория по задаче

Теория для суммы

Сумма чисел от 1 до n вычисляется по формуле: S = n(n + 1) / 2

Для n = 100: S = 100 * 101 / 2 = 5050

Почему формула разумна (простая интуиция “пар”):

берётся первое и последнее число: 1 + 100 = 101
берётся второе и предпоследнее: 2 + 99 = 101
каждая такая пара даёт одинаковый результат 101
всего пар 50, значит сумма 50 * 101 = 5050

Далее используется ключевое наблюдение:

в массиве содержатся все числа 1…100, кроме одного
значит сумма массива равна 5050 минус пропущенное число
следовательно, пропущенное = 5050 - сумма_массива

Теория для XOR

XOR (исключающее ИЛИ) обладает свойствами, которые делают его удобным для “поиска лишнего/пропущенного”:

a ^ a = 0
a ^ 0 = a
XOR не зависит от порядка (ассоциативность и коммутативность)

Если выполнить XOR всех чисел 1…100 и XOR всех элементов массива, то каждое число, которое присутствует и там и там, встретится дважды и превратится в 0. Останется только то число, которое было в диапазоне 1…100, но отсутствовало в массиве.

Когда решения корректны

Описанные решения корректны при выполнении условия задачи:

в массиве нет дублей
все элементы лежат в диапазоне 1…100
пропущено ровно одно число

Если вход может нарушать эти условия, вариант с отметками следует дополнять проверками (например, считать количество пропусков, отслеживать дубликаты).

Сложность и выбор подхода

Подход	Время	Память	Особенности
Сумма	O(n)	O(1)	Самый короткий и читаемый код при корректном входе.
XOR	O(n)	O(1)	Тоже не зависит от порядка, полезный приём, но менее “очевиден”.
Отметки	O(n)	O(n)	Самый наглядный, легко добавлять валидацию входа.
Сортировка + проход	O(n log n)	O(1)/O(n)	Работает, но избыточно: сортировка тяжелее одного прохода.

Практический выбор:

при гарантированно корректном входе чаще всего выбирается вариант “сумма”
при сомнениях в корректности входа удобнее “отметки”

Кратко: наиболее простой путь — вычислить 5050 - сумма(массива) за O(n) и O(1); альтернативно можно применить XOR диапазона и массива (O(n), O(1)); для проверок корректности входа подходит таблица присутствия (O(n), O(n)).